题目内容
已知函数f（x）=x2+
在（0，+∞）上单调递增．
（1）求实数a的取值范围；
（2）讨论方程f（x）=x的根的个数．
| a |
| x |
（1）求实数a的取值范围；
（2）讨论方程f（x）=x的根的个数．
考点：利用导数研究函数的单调性,根的存在性及根的个数判断
专题：导数的综合应用
分析：（1）分别讨论a的取值范围，得到单调递增区间，进而求出a的具体范围，
（2）引进新函数g（x）通过作差法解决问题．
（2）引进新函数g（x）通过作差法解决问题．
解答：
解：（1）①若a=0，则f（x）=x2，满足f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②若a＜0，∵x2在（0，+∞）上单调递增，
在（0，+∞）上单调递增，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③若a＞0，x在（0，+∞）上趋近于0时，f（x）趋近﹢∞，
而f（1）=1+a，与f（x）在（0，+∞）上单调递增矛盾．
综上知：a的取值范围为（-∞，0]．
（2）方程f（x）=x即
=0，
由（1）知a≤0，当a=0时，方程有唯一实数根x=1；
当a＜0时
=0等价于a=-x3+x2，（x≠0）
当x＜0时，-x3+x2＞0，故a=-x3+x2无解；
当0＜x≤1时，-x3+x2=-x2（x-1）≥0，故a=-x3+x2无解；
当x＞1时，令g（x）=-x3+x2，设1＜x1＜x2，
g（x1）-g（x2）=-x13+x12+x23-x22
=-（x1-x2）（x12+x1x2+x22）+（x1-x2）（x1+x2）
=-（x1-x2）（x12+x1x2+x22-x1-x2）
因为1＜x1＜x2，所以x1-x2＜0，x12-x1＞0，x22-x2＞0，
故-（x1-x2）（x12+x1x2+x22-x1-x2）＞0，
所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，
而g（1）=0，x趋近+∞时，g（x）趋近-∞，
故a=-x3+x2在x＞1时，有唯一解；
综上，方程f（x）=x有唯一实数根．
②若a＜0，∵x2在（0，+∞）上单调递增，
| a |
| x |
故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③若a＞0，x在（0，+∞）上趋近于0时，f（x）趋近﹢∞，
而f（1）=1+a，与f（x）在（0，+∞）上单调递增矛盾．
综上知：a的取值范围为（-∞，0]．
（2）方程f（x）=x即
| x3-x2+a |
| x |
由（1）知a≤0，当a=0时，方程有唯一实数根x=1；
当a＜0时
| x3-x2+a |
| x |
当x＜0时，-x3+x2＞0，故a=-x3+x2无解；
当0＜x≤1时，-x3+x2=-x2（x-1）≥0，故a=-x3+x2无解；
当x＞1时，令g（x）=-x3+x2，设1＜x1＜x2，
g（x1）-g（x2）=-x13+x12+x23-x22
=-（x1-x2）（x12+x1x2+x22）+（x1-x2）（x1+x2）
=-（x1-x2）（x12+x1x2+x22-x1-x2）
因为1＜x1＜x2，所以x1-x2＜0，x12-x1＞0，x22-x2＞0，
故-（x1-x2）（x12+x1x2+x22-x1-x2）＞0，
所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，
而g（1）=0，x趋近+∞时，g（x）趋近-∞，
故a=-x3+x2在x＞1时，有唯一解；
综上，方程f（x）=x有唯一实数根．
点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．
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