Question

（1）在数列{a_n}中a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N^*），猜想这个数列的通项公式．
（2）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，S_n+

1

Sn

+2=a_n（n≥2），计算S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式．

Answer 1

考点：数列递推式,归纳推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推关系求出数列的前几项，即可猜想这个数列的通项公式．
（2）根据数列的递推关系求出数列的前几项，即可猜想这个数列的通项公式．

解答： 解　（1）∵a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

，
∴a₂═

2

2+1

=

2

3

，a₃=

2× 2 3

2+ 2 3

=

4

8

=

2

4

，
a₄═

2× 2 4

2+ 2 4

=

2

5

，
∵a₁=1=

2

2

，
∴猜想这个数列的通项公式为a_n=

2

n+1

．
（2）∵S_n+

1

Sn

+2=a_n（n≥2），
∴S1=-

2

3

，S2=-

3

4

，S3=-

4

5

，S4=-

5

6

，Sn=-

n+1

n+2

．

点评：本题主要考查数列通项公式的计算，利用递推数列，依次进行求解，找出规律是解决本题的关键．