Question

1．已知函数f（x）=x²-4lnx，g（x）=-2x²+12x．
（1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值即可；
（3）分别求出f（x）、g（x）的单调区间，求得增区间，再由题意可得它与区间（a，a+1）的包含关系，得到不等式，解得即可判断．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-4lnx，（x＞0），f′（x）=2x-$\frac{4}{x}$，
∴f（1）=1，f′（1）=2-4=-2，故切点为（1，1），斜率是-2，
则切线方程为：y-1=-2（x-1），即为y=3-2x；
（2）函数f（x）=x²-4lnx的导数为f′（x）=2x-$\frac{4}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-4}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{2}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{2}$）递减，在（$\sqrt{2}$，+∞）递增，
∴f（x）_极小值=f（$\sqrt{2}$）=2-2ln2；
（3）由（2）得f′（x）=2x-$\frac{4}{x}$
∵函数f（x）在区间（a，a+1）上为增函数，
∴2x-$\frac{4}{x}$≥0区间（a，a+1）上恒成立，
而不等式2x-$\frac{4}{x}$≥0即 $\frac{（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）}{x}$≥0，
解得，x≥$\sqrt{2}$，
∴a的取值范围是：a≥$\sqrt{2}$①，
g（x）=-2x²+12x的对称轴x=3，
故g（x）在（-∞，3]递增，故a≤3②，
由①②得：$\sqrt{2}$≤a≤3．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．