题目内容

11．已知{an}为首项a1=2的等差数列，{bn}为首项b1=1的等比数列，且a2+b2=6，a3+b3=10．
（1）分别求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．

分析 （1）设数列{an}的公差为d（d＞0），数列{bn}的公比为q，由题意列方程组求得公差和公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；
（2）把数列{an}和{bn}的通项公式代入cn=anbn，然后直接利用错位相减法求数列{cn}前n项和Sn．

解答 解：（1）设公差为d，公比为q，
由a2+b2=6，a3+b3=10，a1=2，b1=1，
得$\left\{\begin{array}{l}{2+d+q=6}\\{2+2d+{q}^{2}=10}\end{array}\right.$，
解得d=2，q=2，
∴an=2n，bn=2n-1，
（2）∵cn=an•bn=2n•2n-1=n•2n，
∴Sn=1•21+2•22+…+n•2n，
∴2Sn=1•22+3•23+…+（n-1）•2n+n•2n，
∴-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2n+1=（1-n）2n+1-2
∴Sn=（n-1）2n+1+2．

点评 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．

练习册系列答案
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