Question

16．已知直线l与椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，椭圆的焦点到长轴两个顶点的距离分别为2+$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$，向量$\overrightarrow{m}$=（ax₁，by₁），$\overrightarrow{n}$=（ax₂，by₂），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l的斜率为1，O为坐标原点，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的焦点到长轴两个顶点的距离分别为2+$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$，确定椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）先利用向量知识，可得4x₁x₂+y₁y₂=0，设出直线方程，联立方程组，求出直线方程，通过表示出面积，即可求得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意椭圆的焦点到长轴两个顶点的距离分别为2+$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$，
可知$\left\{\begin{array}{l}{a+c=2+\sqrt{3}}\\{a-c=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，∴a=2，c=$\sqrt{3}$，∴b²=a²-c²=1
∴椭圆的方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$；
（Ⅱ）△AOB的面积为定值1．
∵向量$\overrightarrow{m}$=（ax₁，by₁），$\overrightarrow{n}$=（ax₂，by₂），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
∴a²x₁x₂+b²y₁y₂=0，∴4x₁x₂+y₁y₂=0
直线l斜率为1，设直线l的方程为y=x+r，代入椭圆方程，可得5x²+2rx+r²-4=0
∴x₁+x₂=-$\frac{2r}{5}$，x₁x₂=$\frac{{r}^{2}-4}{5}$
∵4x₁x₂+y₁y₂=0
∴5x₁x₂+r（x₁+x₂）+r²=0
∴r²-4-$\frac{2{r}^{2}}{5}$+r²=0
∴r²=$\frac{5}{2}$，
∴△=16（k²-r²+4）＞0
设原点O到直线l的距离为d，则S_△AOB=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{\sqrt{2}}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{（{{x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}×\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$=1．
综上可知，△AOB的面积为：1．

点评 本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．