Question

10．已知三棱锥A-BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为4，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为$\frac{π}{6}$或$\frac{32}{3}$-$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．

解答 解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），
由空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的$\frac{1}{8}$或该三棱锥减去此球体的$\frac{1}{8}$，
即：V=$\frac{1}{8}×\frac{4}{3}π×{1}^{3}$=$\frac{π}{6}$或V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×4$-$\frac{π}{6}$=$\frac{32}{3}$-$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$或$\frac{32}{3}$-$\frac{π}{6}$．

点评 此题考查了学生的空间想象能力，解答的关键是对球体，三棱锥的体积公式理解与计算能力．