Question

19．设数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），若a₁=1，a_n+1=2S_n+1，则S₅=121．

Answer 1

分析 由已知结合数列递推式求得a₂，以n-1替换n得a_n=2S_n-1+1（n≥2），与原递推式联立可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3$，进一步说明数列{a_n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，再由等比数列的前n项和得答案．

解答 解：由a_n+1=2S_n+1，得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式作差得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2）．
又由a₁=1，a_n+1=2S_n+1，得a₂=3，满足$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3$，
∴数列{a_n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
则${S}_{5}=\frac{1×（1-{3}^{5}）}{1-3}$=121．
故答案为：121．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查等比数列的前n项和，是中档题．