Question

5．已知x，y满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≥2}\\{x≤2}\end{array}}\right.$，则z=2x+y的最大值与最小值之和为9．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，分别求出最大值和最小值即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（2，2），
代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=4+2=6．
即目标函数z=2x+y的最大值为6．
当直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最小，
此时z最小．由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（1，1），
代入目标函数z=2x+y得z=2×1+1=3．
即目标函数z=2x+y的最小值为3．
则最大值和最小值之和为6+3=9，
故答案为：5．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．