Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+2x+2的图象在点（x₀，f（x₀））处的切线与直线x+y+1=0垂直，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [-1，1]
• B． （-1，1）
• C． （-∞，-1]∪[1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 求函数的导数，利用直线的垂直关系建立方程关系，结合一元二次方程有解的条件进行求解即可得到结论．

解答 解：函数的导数f′（x）=x²+2ax+2，f′（x₀）=x₀²+2ax₀+2，
若函数f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线与直线x+y+1=0垂直，
则f′（x₀）=x₀²+2ax₀+2=1，即x₀²+2ax₀+1=0，
若方程有解，则判别式△=4a²-4≥0，
得a≥1或a≤-1，
故选：C．

点评 本题主要考查导数的几何意义以及直线垂直的斜率关系，根据导数的几何意义以及直线垂直的斜率关系是解决本题的关键．