Question

方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不可能为圆；             
②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；
③若1＜t＜4，则曲线C为椭圆；   
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜

5

2

．
其中真命题的序号是

 

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：圆锥曲线的共同特征

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①当4-t=t-1＞0，即t=

5

2

时，曲线C表示圆；
②若曲线C为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，解出即可判断出；
③若4-t＞0，t-1＞0且4-t≠t-1，解出即可得出曲线C为椭圆；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4-t＞t-1＞0．

解答： 解：方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示曲线C，以下命题：
①当4-t=t-1＞0，即t=

5

2

时，曲线C表示圆，因此不正确；
②若曲线C为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，解得t＜1或t＞4，正确；
③若4-t＞0，t-1＞0且4-t≠t-1，解得1＜t＜4且t≠

5

2

，则曲线C为椭圆，因此不正确；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4-t＞t-1＞0，解得1＜t＜

5

2

，正确．
综上可得真命题为：②④．
故答案为：②④．

点评：本题考查了分类讨论的思想方法，考查了椭圆双曲线圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．