题目内容
已知向量：
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），且
，
满足关系|k
+
|=
|
-k
|（k为正实数）．
（1）求证：（
+
）⊥（
-
）；
（2）求证
与
的数量积表示为关于k的函数f（k）．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（1）求证：（
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）求证
| a |
| b |
考点：平面向量的综合题
专题：平面向量及应用
分析：（1）由已知得
+
=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），
-
=（cosα-cosβ，sinα-sinβ，从而得到（
+
）•（
-
）=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0，由此能证明（
+
）⊥（
-
）．
（2）由已知得|
|=|
|=1，（k
+
）2=3（
-k
）2，由此能证明f（k）=
•
=
，（k＞0）．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）由已知得|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
解答：
（1）证明：∵
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），
∴
+
=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），
-
=（cosα-cosβ，sinα-sinβ，
∴（
+
）•（
-
）=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0，
∴（
+
）⊥（
-
）．
（2）证明：∵
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），
∴|
|=|
|=1，
∵
，
满足关系|k
+
|=
|
-k
|（k为正实数），
∴（k
+
）2=3（
-k
）2，
化简，得4k
•
=k2+1，
∴f（k）=
•
=
，（k＞0）．
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
| a |
| b |
∴（
| a |
| b |
| a |
| b |
∴（
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）证明：∵
| a |
| b |
∴|
| a |
| b |
∵
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
∴（k
| a |
| b |
| a |
| b |
化简，得4k
| a |
| b |
∴f（k）=
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
点评：本题考查向量垂直的证明，考查向量数量积为函数式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．
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