Question

已知函数f（x）=lnx+

a

x

+b，当x=1时，f（x）取得极小值3．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，得出

f′(1)=0 f(1)=3

⇒

1-a=0 a+b=3

，解出即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，得出当x∈[1，2]时f′（x）≥0，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）已知函数f(x)=lnx+

a

x

+b，
则f/(x)=

1

x

-

a

x2

因为当x=1时函数f（x）极小值为3，
所以

f′(1)=0 f(1)=3

⇒

1-a=0 a+b=3

，
解得

a=1 b=2

，
（Ⅱ）因为f(x)=lnx+

1

x

+2；
f/(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
当x∈[1，2]时f′（x）≥0，
所以函数f（x）在x∈[1，2]上单调递增，
所以f（x）_min=f（1）=3，
f(x)max=f(2)=ln2+

5

2

．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．