Question

过抛物线y²=2x内一点P（a，1）作弦AB，若P为AB中点，则直线AB的方程是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：法一：由题意可设直线AB的方程为x-a=k（y-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与抛物线方程可求y₁+y₂，结合中点坐标公式可得

y1+y2

2

=k=1，进而可求直线方程；
法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y12=2x1 y22=2x2

，两式相减及k_AB=

y1-y2

x1-x2

，结合中点坐标公式，可求直线AB的斜率，进而可求直线AB的方程．

解答： 解法一：由题意可设直线AB的方程为x-a=k（y-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程

x-a=k(y-1) y2=2x

，可得y²-2ky-2（a-k）=0，
则△=4（k²-2k+2a）＞0，y₁+y₂=2k，
由中点坐标公式可得

y1+y2

2

=k=1，
则直线AB的方程为：x-y-a+1=0（a＞

1

2

）；
解法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中点坐标公式可得，y₁+y₂=2，
则

y12=2x1 y22=2x2

两式相减可得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2（x₁-x₂）
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

2

y1+y2

=1，
∴直线AB的方程为y-1=x-a即x-y-a+1=0（a＞

1

2

）．
故答案为：x-y-a+1=0（a＞

1

2

）．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查运算求解能力，解题时要认真审题，注意韦达定理的灵活运用．注意法一中直线方程的设法的应用．