Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，若椭圆上存在点P，满足|

PF1

|=5|

PF2

|，则此椭圆离心率的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出P点的横坐标，根据椭圆的定义得|PF₁|=e（x+

a2

c

），|PF₂|=e（

a2

c

-x），结合题意求出x的值，再由-a≤x≤a求出离心率e的取值范围．

解答： 解：设点P的横坐标为x，∵|PF₁|=5|PF₂|，
由椭圆的定义得|PF₁|=e（x+

a2

c

），|PF₂|=e（

a2

c

-x），
∴e（x+

a2

c

）=5e（

a2

c

-x），
解得x=

2a

3e

；
又∵-a≤x≤a，
∴-a≤

2a

3e

≤a，
解得e≥

2

3

，
又e＜1，
∴该椭圆的离心率e的取值范围是[

2

3

，1）．
故答案为：[

2

3

，1）．

点评：本题考查了椭圆的定义及其简单性质的应用问题，解题的关键是根据椭圆的定义得出|PF₁|=e（x+

a2

c

），|PF₂|=e（

a2

c

-x），从而求得答案．