Question

数列{a_n}中，已知a₁=2，对n∈N^*，恒有a_n•a_n+1=2×4ⁿ成立．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设b_n=a_6n-5+a_6n-3+a_6n-1，求数列{b_n}前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由递推公式，求出{a_n}的通项公式，从而证明等比数列；
（2）由等比数列前n项和公式，求出S_n．

解答： 解：（1）证明：a₁=2，又a₁•a₂=2×4=8，得a₂=4，
∵an•an+1=2×4n，∴an+1•an+2=2×4n+1，
两式相除得

an+2

an

=4，知数列{a_n}奇数项成等比，首项a₁=2，公比q=4，
∴n为奇数时，an=a1×4

n-1

2

=2n，
当 n为奇数时，则n+1为偶数，由an•an+1=2×4n得2n•an+1=2×4n，an+1=2n+1，
∴对n∈N^*，恒有an=2n，

an+1

an

=

2n+1

2n

=2（定值），故数列{a_n}是等比数列；
（2）S_n=b₁+b₂+…+b_n=（a₁+a₃+a₅）+（a₇+a₉+a₁₁）+…+（a_6n-5+a_6n-3+a_6n-1），
数列{b_n}前n项和S_n即是数列{a_n}奇数项和（共3n项），
则S_n=

2(1-43n)

1-4

=

2

3

(26n-1)．

点评：由递推公式求通项公式，需要根据递推公式的特点，进行适当变形，还考查了等比数列的前n项和公式，这些都是常考题．属于中档题．