Question

10．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$（a＞b＞0）的离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，直线AB分别交椭圆下顶点A（0，-1）和右顶点B．         
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由b=1，利用椭圆的离心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求得a，即可求得椭圆的方程；
（2）将直线方程，代入椭圆方程，由$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{ED}$=0，则根据韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得k的值．

解答 解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，椭圆的下顶点（0，-1）则b=1，
由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，则a=$\sqrt{3}$
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）假设存在存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0…①，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
x₁+x₂=-$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$，
若以CD为直径的圆过E点，则$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{ED}$=0，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
代入上式得，化为（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0．
∴（k²+1）$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$+（2k+1）（-$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$）+5=0，
解得k=$\frac{7}{6}$，满足k²＞1．
∴存在k=$\frac{7}{6}$，使得以线段CD为直径的圆过E点．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．