Question

7．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2，∠A=60°，G为对角线AC上一点，且$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{AB}$=6，过G的直线分别交两腰AD，BC于M，N两点，若$\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AM}+n\overrightarrow{AN}$，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}$的最小值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，作图分析可得AD=2和AC=2$\sqrt{3}$，进而由数量积的计算公式可得AG=$\sqrt{3}$，即G是AC的中点，则有$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AG}$，由平面向量基本定理可得$\overrightarrow{AG}$=$λ\overrightarrow{AM}$+$μ\overrightarrow{AN}$，（λ+μ=1），结合题意分析可得m=2λ，n=2μ，故有m+n=2；进而分析可得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}$）（m+n+1），由基本不等式分析可得答案．

解答 解：根据题意，如图：作DE∥BC，由于∠A=60°，且AE=AB-CD=2，
则有AD=2，
又由∠ADC=120°，则有AC=2$\sqrt{3}$，
同时有∠CAD=∠CAB=30°，
若$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{AB}$=6，则有$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AG}$||$\overrightarrow{AB}$|cos∠CAB=6，
则由AG=$\sqrt{3}$，即G是AC的中点，
则有$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AG}$，
又由G、M、N三点共线，则有$\overrightarrow{AG}$=$λ\overrightarrow{AM}$+$μ\overrightarrow{AN}$，（λ+μ=1），
而$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AG}$且$\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AM}+n\overrightarrow{AN}$，
则有m=2λ，n=2μ，
故有m+n=2；
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}$）（m+n+1）=$\frac{1}{3}$×[2+$\frac{n+1}{m}$+$\frac{m}{n+1}$]≥$\frac{4}{3}$，
即$\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}$的最小值为$\frac{4}{3}$；
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查基本不等式的运用，涉及三角形的几何计算以及平面向量的加法运算以及数量积的运算，关键是分析得到G为AC的中点．