Question

已知△ABC的顶点B，C的坐标分别为（-3，0），（3，0），AB和AC边上的中线CF，BE交于点G，并且|GF|+|GE|=5．（1）求点G的轨迹方程；
（2）在点G的轨迹上求点P，使△PBC的面积最大．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意得出G点为△ABC的重心，结合|GF|+|GE|=5，算出|GB|+|GC|=10，从而得到G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆．利用椭圆的基本量结合题中数据算出椭圆方程为

x2

25

+

y2

16

=1，结合三角形的三个顶点不共线，可得所求点G的轨迹方程；
（2）由△PBC的底边BC的长为定值6，可知当P为椭圆短轴的两个端点时△PBC的面积最大．

解答： 解：（1）∵△ABC的边AB和AC边上的中线交于G，
∴G点为△ABC的重心，
∵|GF|+|GE|=5，可得|GB|+|GC|=2（|GF|+|GE|）=10，
∴G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，2a=5，c=2，
可得a=5，b²=a²-c²=16，
∴椭圆的方程为

x2

25

+

y2

16

=1，
由三角形ABC中，A点不在直线BC上，可得y=

1

3

y_A≠0，即x≠±5，
因此，点G的轨迹方程为

x2

25

+

y2

16

=1（x≠±5）；
（2）∵△PBC的底边BC的长为定值6，则当P到BC的距离最大时△PBC的面积最大，
即当P为椭圆短轴的一个端点（0，±4）时，△PBC的面积最大，
此时Smax=

1

2

×6×4=12．

点评：本题给出三角形的重心满足的条件，求点G的轨迹方程．着重考查了三角形重心的性质、椭圆的定义与标准方程等知识，属于中档题．