Question

判断并证明函数f（x）=e^x（x²+ax+a+1）的单调性．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：求导数，分类讨论，利用导数的正负，可讨论该函数的单调性；

解答： 解：∵f（x）=e^x（x²+ax+a+1），∴f′（x）=[x²+（a+2）x+2a+1]e^x，
令f′（x）=0，得x²+（a+2）x+2a+1=0，
（1）当△=（a+2）²-4（2a+1）=a²-4a=a（a-4）＞0，
即a＜0或a＞4时x²+（a+2）x+2a+1=0有两个不同的实根x_1，2=

-a-2± a2-4a

2

，于是x∈（-∞，

-a-2- a2-4a

2

）∪（

-a-2+ a2-4a

2

，+∞），f′（x）＞0，
x∈（

-a-2- a2-4a

2

，

-a-2+ a2-4a

2

）时，f′（x）＜0，
所以a＜0或a＞4时，f（x）在∈（-∞，

-a-2- a2-4a

2

）和（

-a-2+ a2-4a

2

，+∞）单调递增，
在（

-a-2- a2-4a

2

，

-a-2+ a2-4a

2

）单调递减；
（2）当△=0即a=0或a=4时，方程x²+（a+2）x+2a+1=0有两个相同的实根，于是f′（x）≥0，f（x）在R单调递增；
（3）当△＜0即0＜a＜4时x²+（a+2）x+2a+1＞0，f′（x）＞0，故f（x）为增函数．
综上，当0≤a≤4时，f（x）为增函数．
a＜0或a＞4时，f（x）在（-∞，

-a-2- a2-4a

2

）和（

-a-2+ a2-4a

2

，+∞）单调递增，
在（

-a-2- a2-4a

2

，

-a-2+ a2-4a

2

）单调递减；

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，做题时要注意对a进行讨论，最后得出函数的单调区间．