Question

6．已知函数f（x）=|x|-x+1，则不等式f（1-x²）＞f（1-2x）的解集为{x|x＞2或x＜-1}．

Answer 1

分析 对x≥0和x＜0进行讨论去掉绝对值，求出f（x）的解析式，利用f（x）的单调性解不等式的即可．

解答 解：由题意：函数f（x）=|x|-x+1，
当x≥0时，f（x）=1，
当x＜0时，f（x）=-2x+1．
故得f（x）的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，（x≥0）}\\{-2x+1，（x＜0）}\end{array}\right.$，
∵f（x）=-2x+1是减函数，
当x＜0时：∴不等式f（1-x²）＞f（1-2x）转化为：$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}＜0}\\{1-2x＜0}\\{1-2x＞1-{x}^{2}}\end{array}\right.$，解得：x＞2；
当$\left\{\begin{array}{l}{1-2x≥0}\\{1-{x}^{2}＜0}\end{array}\right.$时，不等式恒成立．
解得：x＜-1．
综上所得：不等式f（1-x²）＞f（1-2x）的解集为为{x|x＞2或x＜-1}．
故答案为：{x|x＞2或x＜-1}．

点评 本题考查了含有绝对值不等式的解法，此题的关键就是求出解析式，利用其单调性去解不等式．属于基础题．