Question

11．已知函数f（x）=$\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+1}}$，（a＞0）．
（1）当a=2时，证明函数f（x）不是奇函数；
（2）判断函数f（x）的单调性，并利用函数单调性的定义给出证明；
（3）若f（x）是奇函数，且f（x）-x²+4x≥m在x∈[-2，2]时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，f（x）=$\frac{{2}^{x}-2}{{2}^{x}+1}$，根据f（-1）≠-f（1），可得函数f（x）不是奇函数；
（2）函数f（x）在R上为单调增函数，取x₁＜x₂，利用作差法，判断出f（x₁）＜f（x₂），再由函数单调性的定义，可得结论；
（3）若f（x）是奇函数，可得a=1．令g（x）=f（x）-x²+4x，判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，进而可得实数m的取值范围．

解答 证明：（1）当a=2时，f（x）=$\frac{{2}^{x}-2}{{2}^{x}+1}$，因为f（1）=0，f（-1）=-1，
所以f（-1）≠-f（1），
故f（x）不是奇函数；  …4分
解：（2）函数f（x）在R上为单调增函数，…6分
证明：设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-a}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-a}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{（2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）（1+a）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$…8分
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$＜0，且${2}^{{x}_{1}}+1＞0$，${2}^{{x}_{2}}+1＞0$，
又∵a＞0，
∴1+a＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上为单调增函数…10分
（3）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立．
即$\frac{{2}^{-x}-a}{{2}^{-x}+1}$+$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+1}$=0对任意x∈R恒成立．
化简整理得$（a-1）（{2}^{{x}_{\;}}+1）=0$对任意x∈R恒成立．
∴a=1…12分
因为f（x）-x²+4x≥m在x∈[-2，2]时恒成立，
令g（x）=f（x）-x²+4x，设x₁，x₂∈[-2，2]，且x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=[f（x₁）-f（x₂）]+（x₁-x₂）（4-x₁-x₂），
由（2）可知，f（x₁）-f（x₂）＜0，又（x₁-x₂）（4-x₁-x₂）＜0，
所以g（x₁）-g（x₂）＜0，即g（x₁）＜g（x₂），
故函数g（x）=f（x）-x²+4x在x∈[-2，2]上是增函数…14分（直接判断出单调性也给分）
所以当x=-2时，函数g（x）取最小值-$\frac{63}{5}$，
故m≤-$\frac{63}{5}$，
因此m的取值范围是（-∞，-$\frac{63}{5}$]…16分．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数恒成立问题，函数的最值，难度中档．