Question

已知点O是平面直角坐标系的原点，A（-2，0）、B（0，2）、C（a，0）（a＞0），设△AOB和等腰直角△COD的外接圆的圆心分别为M、N．
（1）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；
（2）若直线AB截圆N所得的弦长为4，求圆N的标准方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，由已知

F=0 4-2D+F=0 4+2E+F=0

，得圆M方程为（x+1）²+（y-1）²=2，设直线CD的方程为x+y-a=0，由此能求出直线CD的方程．
（2）由已知得，直线AB的方程为x-y+2=0，由此利用点到直线距离公式能注出圆N的标准方程．

解答： 解：（1）∵点O是平面直角坐标系的原点，A（-2，0）、B（0，2），
∴圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，D²+E²-4F＞0，
∴

F=0 4-2D+F=0 4+2E+F=0

，解得D=2，E=-2，F=0，
∴圆M的方程为x²+y²+2x-2y=0．
即圆M方程为（x+1）²+（y-1）²=2，
又△COD为等腰直角三角形，C点坐标为（a，0），
∴直线CD的方程为x+y-a=0
∵⊙M与直线CD相切，∴圆心M到直线CD的距离d=

|-a|

2

=

2

，
解得a=2或a=-2（舍）．
∴直线CD的方程为x+y-2=0．
（2）由已知得，直线AB的方程为x-y+2=0，
圆心N的坐标为（

a

2

，

a

2

）．
∴圆心N到直线AB的距离为

2

2

=

2

．
∵直线AB截⊙N所得的弦长为4，
∴2²+（

2

）²=

a2

2

．
解得a=2

3

或a=-2

3

（舍），
∴⊙N的标准方程为（x-

3

）²+（y-

3

）²=6．

点评：本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和点到直线的距离公式的合理运用．