题目内容
已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值为a．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．
考点：不等式的证明,函数的最值及其几何意义
专题：不等式的解法及应用,推理和证明
分析：（Ⅰ）利用绝对值不等式的几何意义可得f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，从而可得a的值；
（Ⅱ）利用重要不等式p2+q2≥2pq，p2+r2≥2pr，q2+r2≥2qr，可得3（p2+q2+r2）≥p2+q2+r2+2pq+2pr+2qr=（a+b+c）2=32=9，于是可证的结论．
（Ⅱ）利用重要不等式p2+q2≥2pq，p2+r2≥2pr，q2+r2≥2qr，可得3（p2+q2+r2）≥p2+q2+r2+2pq+2pr+2qr=（a+b+c）2=32=9，于是可证的结论．
解答：
（Ⅰ）解：∵f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
∴f（x）min=3，即a=3．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，a=3，
因为p2+q2≥2pq，p2+r2≥2pr，q2+r2≥2qr，
∴2（p2+q2+r2）≥2pq+2pr+2qr，
∴3（p2+q2+r2）≥p2+q2+r2+2pq+2pr+2qr=（a+b+c）2=32=9，
∴p2+q2+r2≥3．
∴f（x）min=3，即a=3．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，a=3，
因为p2+q2≥2pq，p2+r2≥2pr，q2+r2≥2qr，
∴2（p2+q2+r2）≥2pq+2pr+2qr，
∴3（p2+q2+r2）≥p2+q2+r2+2pq+2pr+2qr=（a+b+c）2=32=9，
∴p2+q2+r2≥3．
点评：本题考查绝对值不等式的性质及应用，着重考查重要不等式的应用，考查推理证明的能力，考查转化思想．
练习册系列答案
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命题“对任意{x|-1≤x≤1}，都有2x2+4x-7≠0”的否定是（ ）
| A、对任意x∈R，都有λ=3 |
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| C、存在x0∈R，使得x02≥1 |
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