Question

5．非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，满足|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=2|$\overrightarrow a$|，则向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$夹角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由已知向量等式可得$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，画出图形，求解直角三角形可得向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$夹角为60°，从而求得向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$夹角的余弦值．

解答 解：∵|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|，∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}$，
即${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，即$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，
如图，设$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，
∵|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=2|$\overrightarrow a$|，∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AC}=\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{2}$，则∠BAC=30°，
∴∠DAC=60°，即向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$夹角为60°，其余弦值为$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查数量积表示两个向量的夹角，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．