Question

13．（1）已知二次函数f（3x+1）=9x²-6x+5，求f（x）的解析式；
（2）设f（x）是定义在实数集R上 的函数，满足f（0）=1，且对任意的实数x，y有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由题意，设出二次函数f（x）的解析式，利用待定系数法求解．
（2）利用赋值法求解f（x）的解析式．

解答 解：（1）由题意：已知f（x）是二次函数，设函数f（x）=ax²+bx+c．
则f（3x+1）=a（3x+1）²+b（3x+1）+c=9ax²+6ax+a+3bx+b+c=9x²-6x+5，
由：$\left\{\begin{array}{l}{9a=9}\\{6a+3b=-6}\\{a+b+c=5}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-4，c=8
∴二次函数f（x）的解析式：f（x）=x²-4x+8．
（2）f（x）是定义在实数集R上 的函数，
对任意的实数x，y有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），
∵f（0）=1，
∴令x=y，
则有：f（0）=f（x）-x（2x-x+1），
整理得：f（x）=x²+x+1．
故得f（x）的解析式：f（x）=x²+x+1．

点评 本题考查了二次函数和抽象函数的解析式的求法．利用了待定系数法和赋值法．属于基础题．