Question

4．已知各项都不相等的数列{a_n}满足n≥2，$a_n^2+a_{n-1}^2-2{a_n}{a_{n-1}}-{a_n}+{a_{n-1}}=0$，a₁=3．
（1）求数列的通项公式a_n；
（2）若${b_n}=\frac{1}{{n{a_n}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）证明：${S_n}≥\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$a_n^2+a_{n-1}^2-2{a_n}{a_{n-1}}-{a_n}+{a_{n-1}}=0$，得${（{a_n}-{a_{n-1}}）^2}-（{a_n}-{a_{n-1}}）=0$，（a_n-a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，即a_n-a_n-1=1，
（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{{n{a_n}}}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$．累加即可求和S_n
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，${S_n}=\frac{1}{2}（{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}（{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}}）$单调递增，求出S_n最小值即可

解答 解：（Ⅰ）由$a_n^2+a_{n-1}^2-2{a_n}{a_{n-1}}-{a_n}+{a_{n-1}}=0$，
得${（{a_n}-{a_{n-1}}）^2}-（{a_n}-{a_{n-1}}）=0$，（a_n-a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
解得a_n-a_n-1=0（舍）或a_n-a_n-1-1=0，即a_n-a_n-1=1，
因此数列{a_n}是公差为1的等差数列，a_n=n+2．
（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{{n{a_n}}}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）}]$
=$\frac{1}{2}（{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）$
=$\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，${S_n}=\frac{1}{2}（{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}（{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}}）$单调递增，
${（{S_n}）_{min}}={S_1}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}）=\frac{1}{3}$，
所以${S_n}≥\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了数列的递推式、裂项求和、证明数列不等式，属于中档题．