Question

12．已知向量$\overrightarrow{AB}=（{x，1}），（{x＞0}），\overrightarrow{AC}=（{1，2}），|{\overrightarrow{BC}}|=\sqrt{5}$，则$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 根据向量的坐标运算和向量的模求出x的值，再根据向量的夹角公式计算即可．

解答 解：因$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=（1-x，\;\;1）$，
则$|\overrightarrow{BC}{|^2}={（1-x）^2}+1=5$，
即x²-2x-3=0，
即（x-3）（x+1）=0，解得x=3或x=-1（舍），
设$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的夹角为θ，
$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{4}$
故选C．

点评 本题考查了向量的模和向量的夹角公式，属于基础题．