Question

14．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，CB⊥C₁B，BC=1，CC₁=2，A₁B₁=$\sqrt{2}$，
（1）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；
（2）在（Ⅰ）的条件下，求AE和BC₁所成角．

Answer 1

分析 （1）由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE，从而B₁E⊥平面ABE且BE?平面ABE，故BE⊥B₁E．利用余弦定理及其勾股定理即可得出．
（2）取BC中点D，则DE∥BC₁，连接AD，所以∠AED或其补角为异面直线AE和BC₁所成角所成的角．
利用余弦定理即可得出．

解答 解：（1）由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE，
从而B₁E⊥平面ABE且BE?平面ABE，故BE⊥B₁E．
不妨设  CE=x，则C₁E=2-x，
∵∠BCC₁=60°，∴BE²=1+x²-x，
∵∠BCC₁=60°，∴∠B₁C₁C=120°，∴${B_1}{E^2}={x^2}-5x+7$．
在Rt△BEB₁中有1+x²-x+x²-5x+7=4，
从而x=1或x=2（当x=2时E与C₁重合不满足题意）．
故E为CC₁的中点时，EA⊥EB₁．
（2）取BC中点D，则DE∥BC₁，连接AD，
所以∠AED或其补角为异面直线AE和BC₁所成角所成的角．
∵$AE=\sqrt{3}，DE=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，AD=\frac{3}{2}$，
∴cos∠AED=$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AED=60°．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、余弦定理与勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．