Question

11．已知f（x）=ax³-x²-x+b（a，b∈R，a≠0），g（x）=$\frac{{3\sqrt{e}}}{4}{e^x}$（e是自然对数的底数），f（x）的图象在x=-$\frac{1}{2}$处的切线方程为y=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$．
（1）求a，b的值；
（2）探究直线y=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$．是否可以与函数g（x）的图象相切？若可以，写出切点的坐标，否则，说明理由；
（3）证明：当x∈（-∞，2]时，f（x）≤g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据切线方程求出a的值，求出A的坐标，得到关于b的方程，解出即可；
（2）设出切点A，根据切线方程求出A的坐标，从而求出切线方程，整理即可；
（3）问题转化为x∈（-∞，2]时，f（x）≤$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$，令k（x）=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$-f（x）=-x³+x²+$\frac{7}{4}$x+$\frac{1}{2}$，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²-2x-1，
∵f（x）的图象在x=-$\frac{1}{2}$处的切线方程是y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$，
故f′（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，即3a•${（-\frac{1}{2}）}^{2}$-2•（-$\frac{1}{2}$）-1=$\frac{3}{4}$，解得：a=1；
故f（x）的图象过A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
故${（-\frac{1}{2}）}^{3}$-${（-\frac{1}{2}）}^{2}$-（-$\frac{1}{2}$）+b=$\frac{3}{4}$，解得：b=$\frac{5}{8}$，
综上，a=1，b=$\frac{5}{8}$；
（2）设直线y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$与函数g（x）的图象相切于A（x₀，y₀），
∵g′（x）=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$e^x，∴过A点的直线的斜率是g′（x₀）=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$${e}^{{x}_{0}}$，
又直线y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$的斜率是$\frac{3}{4}$，故$\frac{3\sqrt{e}}{4}$${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{3}{4}$，解得：x₀=-$\frac{1}{2}$，
将x₀=-$\frac{1}{2}$代入y=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$e^x得点A的坐标是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
故切线方程为：y-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$（x+$\frac{1}{2}$），化简得y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$，
故直线y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$可以与函数g（x）的图象相切，切点坐标是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）；
（3）要证明：x∈（-∞，2]时，f（x）≤g（x），
只需证明x∈（-∞，2]时，f（x）≤$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$，
令k（x）=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$-f（x）=-x³+x²+$\frac{7}{4}$x+$\frac{1}{2}$，
k′（x）=-3x²+2x+$\frac{7}{4}$，令k′（x）=-3x²+2x+$\frac{7}{4}$=0，
解得：x=-$\frac{1}{2}$，x=$\frac{7}{6}$，
故k（x）_min=min{k（-$\frac{1}{2}$），k（2）}，
∵k（-$\frac{1}{2}$）=0，k（2）=0，故k（x）_min=0，
故?x∈（-∞，2]，f（x）≤$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$成立，
?x∈（-∞，2]，令h（x）=g（x）-（$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$）=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$e^x-$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{8}$，
h′（x）=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$e^x-$\frac{3}{4}$，令h′（x）=0，x=-$\frac{1}{2}$，
x∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）时，h′（x）＜0，当x∈（-$\frac{1}{2}$，2]时，h′（x）＞0，
故h（x）≥h（-$\frac{1}{2}$）=0，即?x∈（-∞，2]时，g（x）≥$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$，
由不等式的性质的传递性得：x∈（-∞，2]时，f（x）≤g（x）．

点评 本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．