Question

已知函数f（x）=

2x+3

3x

，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

），n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（-1）^n-1a_na_n-1，求{b_n}的前n向和T_n
（3）当n为偶数时，T_n≤m-3n恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由函数f（x）=

2x+3

3x

，得a_n+1=f（

1

an

）=

2

3

+an，n∈N^*，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）当n为偶数时，设n=2k，T_2k=a₁a₂-a₂a₃+…+a_2k-1a_2k-a_2ka_2k+1=-

4

9

k(2k+3)，所以Tn=-

2

9

n(n+3)．当n为奇数时，T_n=T_n-1+b_n=T_n-1+a_na_n+1=

2n2+2n+3

9

．
（3）n为偶数时，-

2

9

n(n+3)+3n≤m恒成立，所以

-2n2+21n

9

≤m，由此能求出m的范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

2x+3

3x

，
∴a_n+1=f（

1

an

）=

2

3

+an，n∈N^*，
∴{a_n}是以1为首项，

2

3

为公差的等差数列，
∴an=1+(n-1)×

2

3

=

2n+1

3

．
（2）b_n=（-1）^n-1a_na_n-1，{b_n}的前n向和T_n．
当n为偶数时，设n=2k，
T_2k=a₁a₂-a₂a₃+…+a_2k-1a_2k-a_2ka_2k+1
=a₂（a₁-a₃）+…+a_2k（a_2k-1-a_2k+1）
=-

4

3

(a2+a4+…+a2k)
=-

4

9

k(2k+3)，
∴Tn=-

2

9

n(n+3)．
当n为奇数时，T_n=T_n-1+b_n=T_n-1+a_na_n+1
=

2n2+2n+3

9

．
∴T_n=

- 2 9 n(n+3)，n为偶数 2n2+2n+3 9 ，n为奇数

．
（3）∵当n为偶数时，T_n≤m-3n恒成立，
即n为偶数时，-

2

9

n(n+3)+3n≤m恒成立，
∴

-2n2+21n

9

≤m，∴-

2

9

（n²-

21

2

n）=-

2

9

(n-

21

4

)2+

441

72

≤m，
∵n∈N^*，∴当n=6时，

-2n2+21n

9

|max=6，
∴m≥6．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．