Question

设a＞1，b＞0，若a+b=2，则

1

a-1

+

2

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：由a+b=2，a＞1，可得b=2-a＞0，1＜a＜2．令

1

a-1

+

2

b

=

1

a-1

+

2

2-a

=f（a），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：∵a+b=2，∴b=2-a＞0，解得a＜2，又a＞1，1＜a＜2．
∴

1

a-1

+

2

b

=

1

a-1

+

2

2-a

=f（a），
f′（a）=-

1

(a-1)2

+

2

(2-a)2

=

a2-2

(a2-3a+2)2

，
令f′（a）=0，及1＜a＜2．解得a=

2

．
当a∈(1，

2

)时，f′（a）＜0，函数f（a）单调递减；当a∈(

2

，2)时，函数f′（a）＞0，函数f（a）单调递增．
∴当a=

2

时，f（a）取得极小值即最小值，f(

2

)=3+2

2

．
故答案为：3+2

2

．

点评：本题考查了不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．