题目内容
如图，AE⊥平面DEC，四边形ABCD为正方形，M，N分别是线段BE、DE中点．（1）求证：MN∥平面ABCD；
（2）若
| AE |
| EC |
| 1 |
| 3 |
考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）先证明出MN∥BD，进而根据线面平行的判定定理证明出MN∥平面ABCD．
（2）先证明出CD⊥平面ADE，找到线与面所成的角，求出AD，再求得sin∠CED．
（2）先证明出CD⊥平面ADE，找到线与面所成的角，求出AD，再求得sin∠CED．
解答：
（1）证明：连接BD，
∵M，N分别是BE，DE的中点，
∴MN∥BD，
∵BD?平面ABCD，NM?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（2）∵AE⊥平面EDC，AE⊥CD，
在正方形ABCD中，CD⊥AD，AD∩AE=A，
∴CD⊥平面ADE，
故∠CED即为所求角，
设AE=1，AD=a，则EC=3，
由DE2=AD2-AE2=EC2-DC2，得a2-1=9-a2，
∴a=
，
则CD=AD=
，在△CDE中，sin∠CED=
=
．
∵M，N分别是BE，DE的中点，
∴MN∥BD，
∵BD?平面ABCD，NM?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（2）∵AE⊥平面EDC，AE⊥CD，
在正方形ABCD中，CD⊥AD，AD∩AE=A，
∴CD⊥平面ADE，
故∠CED即为所求角，
设AE=1，AD=a，则EC=3，
由DE2=AD2-AE2=EC2-DC2，得a2-1=9-a2，
∴a=
| 5 |
则CD=AD=
| 5 |
| CD |
| CE |
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查了线面平行判定定理，线面所成的角．解决线面成角的问题，关键是找到线面成角的平面角．
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A、（-∞，
| ||||||
| B、（-∞，4] | ||||||
| C、（-∞，6] | ||||||
| D、[5，+∞） |
如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=