Question

在一次研究性学习中，老师给出函数f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），四个小组的同学在研究此函数时，讨论交流后分别得到一下四个命题：
①函数f（x）的值域是（-1，1）；
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），则f_n（x）=

x

1+n|x|

对任意的n∈N^*恒成立；
④若实数a，b满足f（a-1）+f（b）=0，则a+b等于1．
你认为上述四个命题中正确的序号有

 

．（填写出正确的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①，分x＞0与x≤0讨论，可得函数f（x）的值域是（-1，1），从而可判断①；
②，由①的分析可知，函数在每一分段上单调，从而可判断②；
③，依题意，可求得f₂（x）=f（f₁（x））=

x

1+2|x|

，f₃（x）=f（f₂（x））=

x

1+3|x|

…，利用归纳法可判断③；
④，利用f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+|x|

=-f（x）可判断该函数为奇函数，利用奇函数的性质及②可判断④．

解答： 解：对于①，由f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）可知，当x＞0时f（x）=

x

1+|x|

=

x

1+x

∈（0，1）；
当x≤0时f（x）=

x

1-x

=（-1+

1

1-x

）∈（-1，0），故函数f（x）的值域是（-1，1），即①正确；
对于②，由①知，该函数在每一分段上单调，所以，若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），②正确；
对于③，∵f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），
∴f₂（x）=f（f₁（x））=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x

1+2|x|

，f₃（x）=f（f₂（x））=

x 1+2|x|

1+| x 1+2|x| |

=

x

1+3|x|

…
∴f_n（x）=

x

1+n|x|

对任意的n∈N^*恒成立，即③正确；
对于④，∵f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+|x|

=-f（x），
∴f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）为奇函数，
又f（a-1）+f（b）=0，
∴f（a-1）=-f（b）=f（-b），由②知，x₁≠x₂，必有f（x₁）≠f（x₂），即若f（x₁）=f（x₂），则x₁=x₂，
∴a-1=-b，
∴a+b=1，即④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查函数的解析式、单调性及值域，考查归纳法与推理运算能力，④中，分析f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）为奇函数是关键，属于难题．