Question

如图，正三棱柱ABC-A′B′C′（侧棱垂直底面，底面为正三角形）中，D是BC的中点，AA′=AB=2
（1）求三棱锥A′-ABD的体积；
（2）求证：AD⊥B′D．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得AA′⊥平面ABD，AA′=2，S_△ABD=

1

2

S△ABC，由此能求出三棱锥A′-ABD的体积．
（2）由已知得AD⊥BC，AD⊥BB′，从而能证明AD⊥平面BC′B′，由此得到AD⊥B′D．

解答： （1）解：∵AA′⊥平面ABD，AA′=2，
S_△ABD=

1

2

S△ABC=

1

2

×

1

2

×2×2×sin60°=

3

2

，
∴三棱锥A′-ABD的体积：
V=

1

3

×AA′×S△ABD=

1

3

×2×

3

2

=

3

3

．
（2）证明：∵正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD⊥BB′，
∴AD⊥平面BC′B′，
又B′D?平面BC′B′，
∴AD⊥B′D．

点评：本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．