题目内容

已知函数f（x）=3cos2x+2sinxcosx+sin2x．
（1）求f（x）的最大值，并求出此时x的值；
（2）写出f（x）的单调区间．
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）化简可得f（x）=
2
sin(2x+
π
4
)+2，可得f（x）的最大值和此时x的值；
（2）由2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
和2kπ+
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
3π
2
分别可解得函数的单调递增和单调递减区间．
解答： 解：（1）化简可得f(x)=
3(1+cos2x)
2
+sin2x+
1-cos2x
2

=sin2x+cos2x+2=
2
sin(2x+
π
4
)+2
∴f（x）的最大值为2+
2
，此时2x+
π
4
=2kπ+
π
2
，
解得x=kπ+
π
8
，k∈Z；
（2）由2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
可解得kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
；
∴f（x）单调增区间为：[kπ-
3π
8
，kπ+
π
8
]，k∈Z；
由2kπ+
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
3π
2
可解得kπ+
π
8
≤x≤kπ+
5π
8

∴f（x）单调减区间为：[kπ+
π
8
，kπ+
5π
8
]，k∈Z
点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的最值和单调性，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足a1=1，an=λan-1+1，（λ≠1，n≥2且n∈N*）．
（Ⅰ）求证：当λ≠0时，数列{an+
1
λ-1
}为等比数列；
（Ⅱ）如果λ=2，求数列{nan}的前n项和Sn；
（Ⅲ）如果[an]表示不超过an的最大整数，当λ=
2
+1时，求数列{[（λ-1）an]}的通项公式．
在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为
x=-2+
2
t
y=-4+
2
t.
（t为参数）．直线l与曲线C分别交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求实数a的值．
设不等式组
2x-y-2≤0
x+y-1≥0
x-y+1≥0
表示的平面区域为D．则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是（　　）
A、1
B、
2
2
C、
1
2
D、5
某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为
1
3
，则该几何体的俯视图可以是（　　）
A、
B、
C、
D、
在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=
2
，PA=2，则此三棱锥外接球的体积为
 
．
已知研究x与y之间关系的一组数据如表所示，则y对x的回归直线方程
y
=bx+a必过点（　　）
x0123
y1357
A、（2，2）
B、（
3
2
，0）
C、（1，2）
D、（
3
2
，4）
已知
a
=（cosθ，1），
b
=（2，-sinθ），若
a
⊥
b
，则tanθ的值为
 
．
已知α∈（-π，π），且sinα=-cos
π
7
，则α=（　　）
A、-
5π
14
或-
9π
14
B、-
9π
14
或
9π
14
C、
5π
14
或-
5π
14
D、
5π
14
或
9π
14

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