Question

定义在R上的函数f（x）满足条件：存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x恒成立，则称函数f（x）为“V型函数”．现给出以下函数，其中是“V型函数”的是

 

．
（1）f（x）=

x

x2+x+1

；
（2）f（x）=

x•2x(x≤0) f(x-1)(x＞0)

；
（3）f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|成立．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据F函数的定义对各选项进行判定．比较各个选项，发现只有选项（1）（2），根据单调性可求出存在正常数M满足条件，而对于其它选项，不等式变形之后，发现都不存在正常数M使之满足条件，由此即可得到正确答案．

解答： 解：对于（1）若f（x）=

x

x2+x+1

，则|f（x）|=|

x

x2+x+1

|=

|x|

(x+ 1 2 )2+ 3 4

≤

4

3

|x|，故对任意的m＞

4

3

，都有|f（x）|＜m|x|，故是V型函数，
对于（2）当x≤0，要使|f（x）|≤m|x|成立，即|2^x|≤m成立，这样的M不存在，故（2）不是V型函数；
对于（3）④，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到，|f（x）|≤2|x|成立，存在M≥2＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，符合题意．
故是V型函数；
故答案为（1），（3）

点评：本题主要考查学生的阅读理解能力．知识点方面主要考查了函数的最值及其几何意义，综合性较强．