Question

已知函数f（x）=

a•ex

x

（a∈R，a≠0）．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，求导f′（x）=e^x•

x-1

x2

，从而得到f（1）=e，f′（1）=0；从而写出切线方程；
（2）求导f′（x）=a•e^x•

x-1

x2

；从而可得当x＜1且x≠0时，e^x•

x-1

x2

＜0，当x＞1时，e^x•

x-1

x2

＞0；再讨论a以确定导数的正负，从而求单调区间．

解答： 解：（1）当a=1时，f′（x）=e^x•

x-1

x2

；
故f（1）=e，f′（1）=0；
故曲线f（x）在点（1，f（1））处切线的方程为
y-e=0；
（2）f′（x）=a•e^x•

x-1

x2

；
故当x＜1且x≠0时，e^x•

x-1

x2

＜0，
当x＞1时，e^x•

x-1

x2

＞0；
故当a＜0时，当x＜1且x≠0时，f′（x）＞0，
当x＞1时，f′（x）＜0；
当a＞0时，当x＜1且x≠0时，f′（x）＜0，
当x＞1时，f′（x）＞0；
故当a＜0时，
f（x）的单调增区间为（-∞，0），（0，1）；单调减区间为（1，+∞）；
当a＞0时，
f（x）的单调减区间为（-∞，0），（0，1）；单调增区间为（1，+∞）．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．