Question

12．已知直线l过点A（-1，0）且与⊙B：x²+y²-2x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐进线平行于l，则E的方程为（　　）

• A． $\frac{3{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{3{y}^{2}}{2}$=1
• C． $\frac{5{y}^{2}}{3}$-x²=1
• D． $\frac{3{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1

Answer 1

分析 设直线l：y=k（x+1），求得圆的圆心和半径，运用正弦和圆相切的条件：d=r，求得斜率k，联立直线和圆方程解得交点，求出渐近线方程，设出双曲线方程，代入D的坐标，解方程即可得到所求方程．

解答 解：可设直线l：y=k（x+1），
⊙B：x²+y²-2x=0的圆心为（1，0），半径为1，
由相切的条件可得，d=$\frac{|k+k-0|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），
联立x²+y²-2x=0，解得x=$\frac{1}{2}$，y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即D（$\frac{1}{2}$，±$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由题意可得渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
设双曲线的方程为y²-$\frac{1}{3}$x²=m（m≠0），
代入D的坐标，可得m=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{12}$=$\frac{2}{3}$．
则双曲线的方程为$\frac{3{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
故选：D．

点评 本题考查直线和圆相切的条件：d=r，双曲线的性质：渐近线，考查联立方程组求交点，以及待定系数法求方程的方法，属于中档题．