Question

20．已知函数f（x）=x²-3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．
（1）求m、n的值；
（2）若不等式f（x）-k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范围．
（3）令$g（x）=\frac{f（x）}{x}$，若函数F（x）=g（2^x）-r2^x在x∈[-1，1]上有零点，求实数r的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可．
（2）求出函数f（x）的最小值，即可求解k的范围．
（3）问题转化为r=1+2•（$\frac{1}{{2}^{x}}$）2-3•$\frac{1}{{2}^{x}}$在x∈[-1，1]上有解，通过换元得到r=2t²-3t+1在t∈[$\frac{1}{2}$，2]上有解，求出k的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．
可得：1-3m+n=0，4-6m+n=0，解得m=1，n=2，
（2）由（1）可得f（x）=x²-3x+2，
不等式f（x）-k＞0在x∈[0，5]恒成立，
可得不等式f（x）＞k在x∈[0，5]恒成立，
f（x）=x²-3x+2在x∈[0，5]上的最小值为：f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，
可得k＜-$\frac{1}{4}$．
（3）$g（x）=\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-3，函数F（x）=g（2^x）-r•2^x在x∈[-1，1]上有零点，
即g（2^x）-r•2^x=0在x∈[-1，1]上有解，
即r=1+2•（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-3•$\frac{1}{{2}^{x}}$在x∈[-1，1]上有解，
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，则r=2t²-3t+1，
∵x∈[-1，1]，∴t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
即r=2t²-3t+1在t∈[$\frac{1}{2}$，2]上有解，
r=2k²-2t+1=2（t-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，（$\frac{1}{2}$≤t≤2），
∴-$\frac{1}{8}$≤r≤3，
∴r的范围是[-$\frac{1}{8}$，3]．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查换元思想，是一道中档题．