Question

2．已知过两点A（5，0）和$B（{0，-\frac{5}{2}}）$的直线l₁与直线l₂：x+2y+3=0相交于点M．
（Ⅰ）求以点M为圆心且过点B（4，-2）的圆的标准方程C；
（Ⅱ）求过点N（1，1）且与圆C相切的直线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出点M的坐标，圆的半径，即可求出圆的标准方程C；
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求出斜率，即可求过点N（1，1）且与圆C相切的直线方程．

解答 解：（Ⅰ）依题意，得直线l₁的方程为 $\frac{x}{5}+\frac{y}{{-\frac{5}{2}}}=1$，即x-2y-5=0．（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}x+2y+3=0\\ x-2y-5=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}\right.$，即点M的坐标为M（1，-2）．（4分）
设圆C的半径为r，则r²=|BM|²=（4-1）²+（-2+2）²=9．（5分）
所以，圆C的标准方程为（x-1）²+（y+2）²=9．（6分）
（Ⅱ）设点N（1，1）且与圆C相切的直线方程的斜率为k，
则直线方程为kx-y+1-k=0．（7分）
由$\frac{{|{k+2+1-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=3$，得k=0．         （9分）
所以y=1是圆C的一条切线方程．（10分）
又∵点N（1，1）在圆C：（x-1）²+（y+2）²=9上，
∴圆C的切线方程只有一条，即y=1．（11分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．