Question

12．已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|．
（1）若f（x）的最小值为4，求实数a的值；
（2）若-1≤x≤0时，不等式f（x）≤|x-3|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的意义得到|a+2|=4，求出a的值即可；（2）由|x+a|≤1在[-1，0]恒成立得到（-1-x）_max≤a≤（1-x）_min，求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|x-2|+|x+a|≥|（x-2）-（x+a）|=|a+2|，
当且仅当（x-2）（x+a）≤0时取等号，
∴f（x）_min=|a+2|，
由|a+2|=4，解得：a=2或a=-6；
（2）原命题等价于|x+a|+2-x≤3-x在[-1，0]恒成立，
即|x+a|≤1在[-1，0]恒成立，
即-1-x≤a≤1-x在[-1，0]恒成立，
即（-1-x）_max≤a≤（1-x）_min，
故a∈[0，1]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及转化思想，是一道中档题．