Question

下列函数中，满足“?x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0”的是（　　）

• A、f（x）=2^x
• B、f（x）=-（x-1）²
• C、f（x）=

  1

  x+1

• D、f（x）=ln（x+1）

Answer 1

考点：全称命题

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知条件知满足条件的函数f（x）是减函数，所以根据指数函数、二次函数的单调性及单调性的定义可找出在（0，+∞）上递减的函数．

解答： 解：（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，即x₁-x₂与f（x₁）-f（x₂）异号；
∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，所以判断哪个是减函数即可：
A．指数函数f（x）=2^x是增函数，所以不符合条件；
B．二次函数f（x）=-（x-1）²的对称轴是x=1，图象开口向下，所以在（0，1]上是增函数，所以不合条件；
C．f（x）=

1

x+1

，x增大时，f（x）减小，所以该函数在（0，+∞）上是减函数，符合条件；
D．f（x）=ln（x+1），x增大时，f（x）增大，所以该函数在（0，+∞）上是增函数，不合条件；
故选C．

点评：考查函数单调性的定义，指数函数的单调性，二次函数的单调性，对数函数的单调性．