Question

17．已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N₊），观察下列运算：a₁•a₂=log₂3•log₃4=$\frac{lg3}{lg2}•\frac{lg4}{lg3}$=2；a₁•a₂•a₃•a₄•a₅•a₆=log₂3•log₃4•…•log₆7•lg₇8=$\frac{lg3}{lg2}•\frac{lg4}{lg3}•…•\frac{lg7}{lg6}•\frac{lg8}{lg7}$=3；…．定义使a₁•a₂•a₃•…•a_k为整数的k（k∈N₊）叫做希望数，则在区间[1，2016]内所有希望数的和为（　　）

• A． 1004
• B． 2026
• C． 4072
• D． 2²⁰¹⁶-2

Answer 1

分析 a_n=log_n+1（n+2）=$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$，可得a₁•a₂•a₃•…•a_n=$\frac{lg（n+2）}{lg2}$=k，n=2^k-2．即可得出．

解答 解：a_n=log_n+1（n+2）=$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$，
∴a₁•a₂•a₃•…•a_n=$\frac{lg3}{lg2}•\frac{lg4}{lg3}$•…$•\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$=$\frac{lg（n+2）}{lg2}$=k，∴n+2=2^k．
n∈[1，2016]，∴n=2²-2，2³-1，…，2¹⁰-2，
∴在区间[1，2016]内所有希望数的和为=2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2=$\frac{4×（{2}^{9}-1）}{2-1}$-2×9=2026，
故选：B．

点评 本题考查了对数的运算性质、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．