Question

5．如果函数f（x）=（x-1）²+1定义在区间[t，t+1]上，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 根据二次函数的大小求出函数的对称轴，通过讨论t的范围，求出函数的最小值即可．

解答 解：函数f（x）=（x-1）²+1对称轴方程为x=1，
顶点坐标为（1，1），图象开口向上，
若顶点横坐标在区间[t，t+1]左侧时，
有1＜t，此时，当x=t时，函数取得最小值$f{（x）_{min}}=f（t）={（t-1）^2}+1$．
若顶点横坐标在区间[t，t+1]上时，
有t≤1≤t+1，即0≤t≤1．当x=1时，函数取得最小值f（x）_min=f（1）=1．
若顶点横坐标在区间[t，t+1]右侧时，
有t+1＜1，即t＜0．当x=t+1时，函数取得最小值$f{（x）_{min}}=f（t+1）={t^2}+1$
综上讨论，$f{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}{（t-1）^2}+1，t＞1\\ 1，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0≤t≤1\\{t^2}+1\;\;\;\;\;\;t＜0\end{array}\right.$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的最值问以及分类讨论思想，是一道中档题．