Question

6．已知圆C经过点A（0，2），B（2，0），圆C的圆心在圆x²+y²=2的内部，且直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为$2\sqrt{3}$．点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N．
（1）求圆C的方程；
（2）求证：|AN|•|BM|为定值．

Answer 1

分析 （1）直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为$2\sqrt{3}$，且$r=\sqrt{{a^2}+{{（{a-2}）}^2}}$，C（a，a）到直线3x+4y+5=0的距离$d=\frac{{|{7a+5}|}}{5}=\sqrt{{r^2}-3}=\sqrt{2{a^2}-4a+1}$，即可求圆C的方程；
（2）分类讨论，求出直线PA，PB的方程，可得M，N的坐标，即可证明结论．

解答 （1）解：知点C在线段AB的中垂线y=x上，故可设C（a，a），圆C的半径为r．
∵直线3x+4y+5=0被圆C所截得的弦长为$2\sqrt{3}$，且$r=\sqrt{{a^2}+{{（{a-2}）}^2}}$，
∴C（a，a）到直线3x+4y+5=0的距离$d=\frac{{|{7a+5}|}}{5}=\sqrt{{r^2}-3}=\sqrt{2{a^2}-4a+1}$，
∴a=0，或a=170．
又圆C的圆心在圆x²+y²=2的内部，∴a=0，圆C的方程x²+y²=4．
（2）证明：当直线PA的斜率不存在时，|AN|•|BM|=8．
当直线PA与直线PB的斜率存在时，
设P（x₀，y₀），直线PA的方程为$y=\frac{{{y_0}-2}}{x_0}x+2$，令y=0得$M（{\frac{{2{x_0}}}{{2-{y_0}}}，0}）$．
直线PB的方程为$y=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（{x-2}）$，令x=0得$N（{0，\frac{{2{y_0}}}{{2-{x_0}}}}）$．
∴$|{AN}|•|{BM}|=（{2-\frac{{2{y_0}}}{{2-{x_0}}}}）（{2-\frac{{2{x_0}}}{{2-{y_0}}}}）=4+4[{\frac{y_0}{{{x_0}-2}}+\frac{x_0}{{{y_0}-2}}+\frac{{{x_0}{y_0}}}{{（{{x_0}-2}）（{{y_0}-2}）}}}]$
=$4+4×\frac{{y_0^2-2{y_0}+x_0^2+{x_0}{y_0}}}{{（{{x_0}-2}）（{{y_0}-2}）}}=4+4×\frac{{4-2{y_0}-2{x_0}+{x_0}{y_0}}}{{（{{x_0}-2}）（{{y_0}-2}）}}=4+4×\frac{{4-2{y_0}-2{x_0}+{x_0}{y_0}}}{{4-2{y_0}-2{x_0}+{x_0}{y_0}}}=8$，
故|AN|•|BM|为定值为8

点评 本题考查圆的方程，考查直线的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．