Question

奇函数f（x）的定义域为R，且在[0，+∞）上为增函数，问：是否存在m使f（x²-3）+f（2m-3x）＞f（0）对任意x∈[0，1]都成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性的性质结合函数单调性之间的关系，将不等式进行转化，利用二次函数的最值，即可得到结论．

解答： 解：∵奇函数f（x）的定义域为R，∴f（0）=0，
则不等式f（x²-3）+f（2m-3x）＞f（0）等价为f（x²-3）+f（2m-3x）＞0，
即f（x²-3）＞-f（2m-3x）=f（3x-2m），
∵f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）在R上是增函数，
若f（x²-3）+f（2m-3x）＞f（0）对任意x∈[0，1]都成立，
等价为x²-3＞3x-2m对任意x∈[0，1]都成立，
即x²-3x-3＞-2m对任意x∈[0，1]都成立，
设g（x）=x²-3x-3，则对称轴为x=-

-3

2

=

3

2

，
则函数g（x）在[0，1]上是减函数，
∴g（x）的最小值为g（1）=1-3-3=-5，
则满足-2m＜-5，
解得m＞

5

2

．
故存在m＞

5

2

使f（x²-3）+f（2m-3x）＞f（0）对任意x∈[0，1]都成立．

点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．