题目内容
已知点F1、F2分别为
-
=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若
的最小值为9a，则这个双曲线的离心率为 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
|
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：运用双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|+2a，令|PF1|=t（t≥c-a），则
=
=
=t+
+4a，先运用基本不等式检验等号成立的条件，再由单调性求得最小值，即可得到离心率．
|
| (t+2a)2 |
| t |
| t2+4ta+4a2 |
| t |
| 4a2 |
| t |
解答：
解：由P为双曲线左支上的任意一点，
则|PF2|-|PF1|=2a，
即有|PF2|=|PF1|+2a，
令|PF1|=t（t≥c-a），
则
=
=
=t+
+4a，
若t+
+4a≥2
+4a=8a，
当且仅当t=2a时，取最小值8a，则由题意可得，c-a≤2a，即有c≤3a．
故[c-a，+∞）是增区间，即有c-a+
+4a=9a，
化简得，10a2-7ac+c2=0，
解得c=2a（舍去）或c=5a．
则离心率为e=
=5．
故答案为：5．
则|PF2|-|PF1|=2a，
即有|PF2|=|PF1|+2a，
令|PF1|=t（t≥c-a），
则
|
| (t+2a)2 |
| t |
| t2+4ta+4a2 |
| t |
| 4a2 |
| t |
若t+
| 4a2 |
| t |
t•
|
当且仅当t=2a时，取最小值8a，则由题意可得，c-a≤2a，即有c≤3a．
故[c-a，+∞）是增区间，即有c-a+
| 4a2 |
| c-a |
化简得，10a2-7ac+c2=0，
解得c=2a（舍去）或c=5a．
则离心率为e=
| c |
| a |
故答案为：5．
点评：本题考查双曲线的方程、定义和性质，考查离心率的求法，同时求函数的最值，注意运用函数的单调性，属于中档题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
双曲线
-
=1（b＞0）的一条渐近线方程为y=
x，则双曲线的离心率等于（ ）
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
| 3 |
A、
| ||||
B、
| ||||
| C、C、 | ||||
D、
|