Question

已知函数f（x）=x（x+a）-lnx，其中a为常数．
（1）当a=-1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）是区（

1

2

，1）内的单调函数，求实数a的取值范围；
（3）过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f（x）相切？请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的正负性，判断函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）f（x）在区间（

1

2

，1）内是单调函数，即其导函数f′（x）≥0或f′（x）≤0在区间（

1

2

，1）内恒成立；
（3）设出切点，写出切线方程，由条件知切线过原点，代入得关于t的一个方程，只需研究此方程有几个解即可．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=-1时，f（x）=x（x-1）-lnx，则f′(x)=2x-1-

1

x

=

2x2-x-1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

(x＞0)，
∴（2x+1）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-

1

2

，
当（2x+1）（x-1）＜0时，得-

1

2

＜x＜1，又定义域为x∈（0，+∞），
∴f（x）在区间（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．于是f（x）有极小值f（1）=0，无极大值．
（2）易知f′(x)=2x+a-

1

x

，f（x）在区间(

1

2

，1)内单调递增，所以
由题意可得f′(x)=2x+a-

1

x

=0在(

1

2

，1)内无解，即f′(

1

2

)≥0或f'（1）≤0，解得
实数a的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）．
（3）设切点（t，t²+at-lnt），k=2t+a-

1

t

，∴切线方程为y=(2t+a-

1

t

)(x-t)+t2+at-lnt．
∵切线过原点（0，0），∴0=(2t+a-

1

t

)(-t)+t2+at-lnt，化简得t²-1+lnt=0（※）．
设h（t）=t²-1+lnt（t＞0），则h′(t)=2t+

1

t

＞0，所以h（t）在区间（0，+∞）内单调递增．
又h（1）=0，故方程（※）有唯一实根t=1，从而满足条件的切线只有一条．

点评：这是一道导数的综合题，考查利用导数求函数的极值，研究函数的单调性，讨论切线的条数的问题，这些都是常考知识点，应该撑握，属于中档题．