Question

已知直角梯形ABCD与等腰直角△APB所在平面互相垂直，AD∥BC，∠APB=∠ABC=90°，AB=BC=2AD=2，E为PB的中点．
（1）求证：直线AE∥平面PCD；
（2）求平面PCD与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）取PC的中点F，连接EF、DF，由已知条件推导出EF平行且等于

1

2

BC，从而得到四边形AEFD为平行四边形，由此能证明AE∥平面PCD．
（2）取AB的中点O，CD的中点Q，连接OP，OQ．以O为坐标原点，分别以OP、OB、OQ为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PCD与平面PAB所成角的正弦值．

解答： （1）证明：如图1取PC的中点F，连接EF、DF．
在△PBC中，PE=EB，PF=FC，
所以EF平行且等于

1

2

BC，
又AD平行且等于

1

2

BC，
所以EF平行且等于AD，故四边形AEFD为平行四边形，
所以AE∥DF，
又因为AE?面PCD，DF?面PCD，
所以AE∥平面PCD．
（2）解：如图2，取AB的中点O，CD的中点Q，连接OP，OQ．
在△APB中，AP=PB，OA=OB，∠APB=90°，
所以PO⊥AB，且PO=

1

2

AB=1．
在直角梯形ABCD中，AO=OB，DQ=QC，
所以OQ∥BC，
又因为BC⊥AB，所以OQ⊥AB，
又因为面APB⊥面ABCD，面APB∩面ABCD=AB，
所以OQ⊥面PAB．
以O为坐标原点，分别以OP、OB、OQ为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则P（1，0，0），A（0，-1，0），B（0，1，0），C（0，1，2），D（0，-1，1）．
故

PD

=（-1，-1，1），

PC

=（-1，1，2）．
设面PCD的法向量为n=（x，y，z），
则由

n • PD =-x-y+z=0 n • PC =-x+y+2z=0

，
令y=1，则z=-2，x=-3．
故n=（-3，1，-2）为面PCD的一个法向量．
因为OQ⊥面PAB，所以可取m=（0，0，1）为面PAB的一个法向量．
故cos＜m，n＞=

m•n

|m||n|

=

-2

(-3)2+12+(-2)2

=-

14

7

．
设所求二面角为θ，所以|cos θ|=|cos＜m，n＞|=

14

7

，
所以sinθ=

1-( 14 7 )2

=

35

7

．

点评：本题考查查直线与平面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．