Question

已知函数f（x）=

4x

3x2+3

，x∈[0，2]．
（1）求使方程f（x）-m=0（m∈R）存在实数解时，实数m的取值范围；
（2）设a≠0，函数g（x）=

1

3

ax3-a2x，x∈[0，2]，若对任意x₁∈[0，2]，总存在x₀∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₀）=0，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意得即求f（x）的值域，利用导数求得f（x）的最值即可；
（2）由（1）得f（x）∈[0，

2

3

]，故由题意得只要使得函数g（x）=

1

3

ax³-a²x（x∈[0，2]）的值域为[0，

2

3

]的子区间即可，
利用导数求出g（x）的值域，列出不等式即可求得a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

4x

3x2+3

，x∈[0，2]．
∴f′（x）=

4(3x2+3)-4x•6x

(3x2+3)2

=

4(1-x)(1+x)

3(x2+1)2

，
∴当x∈[0，1]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增；当x∈[1，2]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减；
∴当x=1时，f（x）_max=

2

3

，又f（0）=0，f（2）=

8

15

，故f（x）_min=0，
∴要使方程f（x）-m=0（m∈R）存在实数解时，则有m∈[0，

2

3

]；
（2）由题意可知，“对任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₂）=0”成立的充要条件为
“函数g（x）=

1

3

ax³-a²x（x∈[0，2]）的值域为[0，

2

3

]的子区间”．
当a＜0时，g'（x）=ax²-a²＜0，函数g（x）=

1

3

ax³-a²x（x∈[0，2]）为减函数，且g（0）=0，所以此种情况不成立．
当a＞0时，令g'（x）=ax²-a²=0，得x²=a，x=

a

．由于g（0）=0，又函数g（x）=

1

3

ax³-a²x（x∈[0，2]）的值域为[0，

2

3

]的子区间”．
所以，g（x）在区间[0，2]上必为增函数，即必有

a

≥2，得a≥4，且g（2）=

8

3

a-2a²≤

2

3

．解得a≤

1

3

或a≥1．
综合知a≥4即为所求．

点评：本题考查利用导数求函数的最值问题，以及转化和划归思想，属难题．